Стійкість мінімальних поверхонь у субрімановому многовиді $\widetilde {E(2)}$
Abstract
У роботі досліджуються гладкі орієнтовані поверхні в універсальному накритті групи власних рухів евклідової площини, що має лівоінваріантну структуру тривимірного субріманового многовида. Ця структура будується як обмеження евклідової метрики групи на деякий цілком неінтегровний лівоінваріантний розподіл. Субріманова площа поверхні визначається як інтеграл довжини ортогональної проєкції одиничного нормального поля поверхні на цей розподіл. Обчислено формулу першої варіації субріманової площі поверхні, з якої виведено критерій мінімальності. Тут ми розуміємо під мінімальними поверхні, що є критичними точками функціонала субріманової площі під дією нормальних варіацій з компактними носіями. Встановлено, що така мінімальність у даному випадку не є еквівалентною до рівності нулю субріманової середньої кривини поверхні. Показано, що евклідова площина є мінімальною тоді й тільки тоді, коли вона паралельна або ортогональна до осі $z$ (де координата $z$ відповідає куту обертання власного руху). Отримано умову мінімальності для явно заданої поверхні та наведені приклади таких поверхонь. Розглянуті приклади демонструють, зокрема, що з мiнiмальностi поверхнi у рімановому (у даному випадку евклiдовому) сенсi не випливає її субрiманова мiнiмальнiсть та навпаки. Далі розглядається питання про стійкість мінімальних поверхонь. Для цього виведено формулу другої варіації субріманової площі. За її допомогою встановлено, що мінімальні евклідові площини є стійкими. Введено клас поверхонь, для яких дотичні площини перпендикулярні до площин розподілу субріманової структури, і які ми звемо вертикальними. Зокрема, для таких поверхонь формула другої варіації суттєво спрощується. Показано, що повні зв’язні вертикальні мiнiмальні поверхні вичерпуються евклiдовими площинами та гелiкоїдами, причому гелікоїди нестійкі. Звідси випливає результат типу Бернштейна: повна зв’язна вертикальна мiнiмальна поверхня є стiйкою тодi й тiльки тодi, коли це евклiдова площина, що ортогональна до осі $z$.
Keywords
