Vojnotehnički Glasnik (Jul 2020)
Partial stability of multi attribute decision-making solutions for interval determined criteria weights - the problem of nonlinear programming / Частичная устойчивость многоатрибутивного принятия решений по интервально заданному весу критерия − проблема нелинейного программирования / Parcijalna stabilnost rešenja višeatributnog odlučivanja za intervalno zadate težine kriterijuma - problem nelinearnog programiranja
Abstract
Introduction/purpose: The paper presents a designed procedure for solving a class of nonlinear programming (NLP) tasks with the nonlinear and differentiable objective function, linear natural constraints (intervals of possible arguments values - variables) and the normalization condition for arguments. The procedure was applied to determine the partial stability of the solution of the problem of multi attibute decision-making (MADM). Methods: The basis of the procedure is to define the nodes of argument pairs and their parameters for the allowable multidimensional points. The parameters are implemented in the gradient method, the favorable directions method and the line search method. In the development of the procedure, the basics of the TOPSIS method for MADM with intervalgiven criteria weights were used, primarily due to the nonlinearity of the reference function. Results: The paper elaborates the procedure of determining extreme and other admissible solutions of the reference function (boundary and basic solutions) and all vertices of the convex set of the function definition. This forms a complete graph of the function, i.e. the required solutions from the allowable set can be determined. A procedure for determining a set of solutions for defining a separating hyperplane of a set of function values has been developed; in this way, as a specific case, a set of solutions of partial stability of the variant is defined as MADM solutions. Adequate procedures have been proposed to eliminate the degeneration of the procedure (wedging and oscillation of the solution). Conclusions: The most significant contribution of the paper is the definition of the nodes of argument pairs and their parameters which ensure the normalization condition in each node and for each allowable point, nonnegativity of variables and independence of argument changes in nodes, within active constraints. An original procedure for determining function graphs has been developed. An appropriate real numerical example is given. / Введение/цель: В статье представлена разработанная процедура для решения класса задач нелинейного программирования (НЛП) с нелинейной и дифференцируемой целевой функцией, линейными естественными ограничениями и условием нормализации переменных (аргументов). Процедура была применена для определения частичной устойчивости решения задач многоатрибутивного принятия решений. Методы: Основой процедуры является определение узлов пар аргументов и их параметров для допустимых многомерных точек. Параметры внедрены в примененном градиентном методе, методе возможных направлений и методе линейного поиска. При разработке процедуры были использованы основы метода TOPSIS как метода для многоатрибутивного принятия решений с интервально заданными критериями веса, в первую очередь из-за нелинейности в вызове функций. Результаты: Также разработана процедура определения экстремальных и других допустимых решений при вызове функций (маргинальные и базовые решения) и всех вершин выпуклого множества определения функции. Таким образом сформирован полный график функции, т.е. определены требуемые решения из допустимого множества. Разработана процедура установления множества решений для определения разделяющей гиперплоскости множества значений функции; благодаря чему в отдельных случаях множество решений частичной устойчивости варианта определяется как решение многоатрибутивного принятия решений. Были предложены соответствующие процедуры для устранения отклонений в процедуре (заклинивание и колебание решений). Выводы: Данное исследование является значительным вкладом в определение узлов аргументов и их параметров, которые обеспечивают условия нормализации в каждом узле и для каждой допустимой точки, неотрицательность переменных и независимость изменений аргументов в узлах в рамках активных ограничений. Разработана оригинальная процедура определения графов функций. Приведены соответствующие реальные числовые примеры. / Uvod/cilj: U radu je prikazan projektovani postupak za rešavanje klase zadataka nelinearnog programiranja (NLP) sa nelinearnom i diferencijabilnom funkcijom cilja, linearnim prirodnim ograničenjima i normirajućim uslovom za promenljive (argumente). Postupak je primenjen za određivanje parcijalne stabilnosti rešenja problema višeatributnog odlučivanja (VAO). Metodi: Osnov postupka predstavlja definisanje čvorova parova argumenata i njihovih parametara za dopustive višedimenzionalne tačke. Parametri se imlementiraju u gradijentni metod, metod povoljnih pravaca i metod linijskog traženja. U razvoju postupka korišćeni su osnovi metoda TOPSIS za VAO sa intervalno zadatim težinama kriterijuma, prvenstveno zbog nelinearnosti referentne funkcje. Rezultati: Razrađen je postupak određivanja ekstremnih i drugih dopustivih rešenja referentne funkcije (rubna i osnovna rešenja) i svih vrhova konveksnog skupa definisanosti funkcije. Time je formiran potpuni grafik funkcije, na osnovu kojeg se mogu odrediti zahtevana rešenja iz dopustivog skupa. Razvijen je postupak određivanja skupa rešenja za definisanje hiperravani razdvajanja skupa vrednosti funkcije. Na taj način se, kao specifičan slučaj, definiše i skup rešenja parcijalne stabilnosti varijante kao rešenja VAO. Za otklanjanje degeneracije postupka (zaklinjavanje i oscilovanje rešenja) predložene su adekvatne procedure. Zaključak: Najznačajniji doprinos ovog rada jeste definisanje čvorova argumenata i njihovih parametara kojima se osigurava normirajući uslov u svakom čvoru i za svaku dopustivu tačku, nenegativnost promenljivih i nezavisnost promena argumenata u čvorovima, u granicama aktivnih ograničenja. Takođe, razvijen je originalan postupak za određivanje grafika funkcije i predstavljen odgovarajući realan numerički primer.
Keywords
