Построение характеристического определителя одного типа задач на собственные значения при интегральном возмущении двух краевых условий

Abstract

Хорошо известно, что система собственных функций оператора, заданного формально самосопряженным дифференциальным выражением, с произвольными самосопряженными краевыми условиями, обеспечивающими дискретный спектр, образует ортонормированный базис. Во многих работах исследовался вопрос о сохранении свойств базисности при некотором (слабом в определенном смысле)возмущении исходного оператора. Для случая произвольного обыкновенного дифференциального оператора, когда невозмущенные краевые условия являются усиленно регулярными, вопрос об устойчивости свойства базисности корневых векторов при их интегральном возмущении положительно решен в работах А.А. Шкаликова. В серии наших предыдущих работ рассматривался вопрос о построении характеристического определителя и об устойчивости свойства базисности корневых векторов при интегральном возмущении одного из краевых условий. Были рассмотрены практически все возможные типы краевых условий, которые являются регулярными, но не усиленно регулярными. В настоящей работе рассматривается спектральная задача для оператора кратного дифференцирования при интегральном возмущении краевых условий одного типа, являющихся регулярными, но не усиленно регулярными. В отличие от предыдущих работ нами рассматривается случай, когда интегральное возмущение присутствует в обоих краевых условиях. Первым основным результатом работы является построение характеристического определителя спектральной задачи. На основании полученной формулы делаются выводы об асимптотике собственных значений и собственных функций задачи. Вторым основным результатом работы является обоснование базисности Рисса системы корневых функций рассматриваемой задачи при интегральном возмущении двух краевых условий.

Keywords

• характеристический определитель
• базис рисса
• усиленно регулярные краевые условия
• корневые функции
• интегральное возмущение краевого условия