Науковий вісник НЛТУ України (May 2025)
Метод генерування послідовності модифікованих поліноміальних матриць Фібоначчі
Abstract
Наведено особливості генерування n-ої послідовності модифікованих поліноміальних матриць Фібоначчі m-го порядку, елементами яких є поліноми Фібоначчі не вище (2(m–2)+n)-го номера, які дають змогу знаходити як їхні визначники, так і обернені матриці, придатні для матричного шифрування блокових даних. З'ясовано, що навіть за останнє десятиліття надруковано значну кількість публікацій, в кожній з яких обґрунтовано різні підходи як до генерування послідовностей поліноміальних матриць Фібоначчі, так і доведено доцільність їх використання для шифрування блокових даних. Встановлено, що застосування таких матриць як окремої процедури для захисту блокових даних у теорії та практиці криптографії трапляється вкрай рідко. Проаналізовано послідовності поліноміальних матриць Фібоначчі від 2-го до 5-го, згідно з яким виявлено недоліки у традиційному підході до формування структури елементів таких матриць, насамперед кількості (k) різних її елементів, якими є поліноми Фібоначчі не вище (n–1)-го степеня. Встановлено, що для матриць Фібоначчі будь-якого порядку (m) таких різних поліномів Фібоначчі буде всього k = 3, структура яких залежатиме тільки від номера (n) послідовності поліноміальної матриці Фібоначчі. Така незначна їх кількість є не тільки малоінформативною та прозорою для криптоаналітика, але й не стійкою щодо криптоаналізу. Модифіковано структуру елементів поліноміальних матриць Фібоначчі, кількість яких вже залежить від порядку матриці (m) і становить km = 2m–1. Розроблено метод генерування послідовності модифікованих поліноміальних матриць Фі-боначчі, який полягає у використанні рекурентного матричного співвідношення, згідно з яким наступну поліноміальну матрицю утворюють шляхом множення змінної x послідовно на елементи поточної матриці, здійснюють додавання елементів утвореної матриці до елементів попередньої матриці, після чого в утворених елементах групують усі схожі доданки. Наведено алгоритми утворення послідовності з 8-ми поліноміальних модифікованих матриць Фібоначчі від 2-го до 5-го порядків, елементами яких стали поліноми Фібоначчі не вище (2(m–2)+n)-го номера, що дало змогу проаналізувати не тільки особливості їхньої побудови, але й усвідомити відповідні процедури знаходження їхніх визначників і обернених матриць. Виявлено, що запропонована структура елементів n-ої послідовності модифікованих поліноміальних матриць Фібоначчі m-го порядку має цікаву властивість, згідно з якою можна уникнути використання рекурентного матричного співвідношення, а генерувати відповідні поліноміа-льні матриці Фібоначчі тільки за номерами (m+n–2–j)-ої послідовності поліномів Фібоначчі, конкретні значення яких залежать від місця їхнього розташування в матриці та номера її стовпця, а саме "jÎ[0¸(m–1)]. Розроблено ПЗ, яке дає змогу генерувати як послідовності модифікованих поліноміальних матриць Фібоначчі m-го порядку, так і знаходити їхні визначники та обчислювати обернені поліноміальні матриці аналогічного порядку. Наведено приклад застосування матричного методу шифрування блокових даних модифікованою поліноміальною матрицею Фібоначчі, що дає змогу зацікавленому читачу зрозуміти основний принцип шифрування як початкового повідомлення, так і розшифрування зашифрованого повідомлення.
Keywords
