Известия Алтайского государственного университета (Mar 2021)

О некоторых замечательных точках и отрезках в треугольнике

  • Юрий Николаевич Мальцев,
  • Анна Сергеевна Монастырева

DOI
https://doi.org/10.14258/izvasu(2021)1-18
Journal volume & issue
no. 1(117)
pp. 106 – 111

Abstract

Read online

Пусть ra, rb, rc — радиусы, а OA, OB, OC — центры окружностей, касающихся в вершинах треугольника описанной окружности и противоположной стороны этого треугольника. В работе [Andrica D., Marinescu D.S. New interpolation inequalities to Euler's R≥2 // Forum Geometricorum. 2017. Vol. 17] доказано, что 4/R £ 1/ra + 1/rb +1/rc £2/r. В статье [Isaev I., Maltsev Yu., Monastyreva A. On some relations in geometry of a triangle // Journal of Classical Geometry. 2018. Vol. 4] данные неравенства обобщены следующим образом: 1/ra + 1/rb +1/rc=2/R+1/r. В настоящей работе мы вычислили площадь треугольника OAOBOC (см. Теорему 1). Кроме того, доказали ряд соотношений для чисел R-ra, R-rb, R-rc, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Вычислили величины 1/R-ra+1/R-rb + 1/R-rc и a/R-ra+b/R-rb + c/R-rc через параметры p, R и r (см. Теорему 2). Дали оценку этим выражениям (см. Теорему 3). Наконец, используя результаты работы [Maltsev Yu., Monastyreva A. On some relations for a triangle // International Journal of Geometry. 2019. Vol. 8 (1)], нашли выражение величины (1-cos(αβ))(1-cos(β-γ))(1-cos(α-γ)) через параметры p, R, r, что позволило нам дать новое доказательство фундаментального неравенства треугольника (см. Следствие 2).

Keywords