Задача Рэлея — Бенара для раствора полимеров

Abstract

Существует три математических модели, описывающих движение водных растворов полимеров: модель жидкости второго порядка (Ривлин — Эриксен), наследственная модель (Войткунский — Амфило-хиев — Павловский) и ее асимптотическое упрощение (Павловский). В работе выведены уравнения тепловой гравитационной конвекции для всех трех моделей и рассмотрена задача об устойчивости равновесия жидкости в горизонтальном слое жидкости при подогреве снизу или сверху. Рассмотрены три типа граничных условий: две твердые границы; нижняя граница твердая, а верхняя свободна; обе границы свободны (задача Рэлея). Для случая подогрева снизу установлен принцип монотонности возмущений, который гарантирует вещественность собственных чисел спектральной задачи. Это заметно упрощает нахождение критических чисел Рэлея. Оказалось, что эти числа совпадают с критическими числами Рэлея в классической задаче Рэлея — Бенара. В случае подогрева сверху при больших градиентах температуры декременты возмущений становятся комплексными, но вещественные части их отрицательны. Вывод о том, что релаксационные свойства жидкости второго порядка и водного раствора полимеров не приводят к изменению критического числа Рэлея, на первый взгляд может показаться странным. По нашему предположению, это связано с тем, что основное состояние жидкости является состоянием покоя.

Keywords

• водные растворы полимеров
• жидкость второго порядка
• релаксационная вязкость
• задача рэлея — бенара