Аналитически-численный алгоритм вычисления корней алгебраических уравнений с заданными предельными погрешностями

Abstract

Предложен алгоритм вычисления приближенных значений корней алгебраических уравнений с заданными предельными абсолютными погрешностями. Математическую основу алгоритма составляет аналитически-численный метод решения нелинейных интегрально-дифференциальных уравнений с нестационарными коэффициентами. Аналитически-численный метод относится к классу одношаговых непрерывных методов переменного порядка с адаптивной процедурой выбора шага расчета, формализованной оценкой погрешности производимых вычислений на каждом шаге и погрешности, накапливаемой в ходе расчета. Предлагаемый алгоритм вычисления приближенных значений корней алгебраического уравнения с заданными предельными абсолютными погрешностями состоит из двух этапов. Результатом выполнения первого этапа служат числовые интервалы, содержащие неизвестные точные значения корней алгебраического уравнения. На втором этапе вычисляем приближенные значения этих корней с заданными предельными абсолютными погрешностями. В качестве примера использования предложенного алгоритма приведено нахождение корней алгебраического уравнения пятого порядка с тремя различными значениями предельной абсолютной погрешности. На основе полученных результатов сделаны следующие выводы. Предложенный алгоритм позволяет выделить числовые интервалы, содержащие неизвестные точные значения корней. Знание этих интервалов дает возможность вычисления приближенных значений корней с любой заданной предельной абсолютной погрешностью. Результативность алгоритма, то есть гарантия достижения поставленной цели не зависит от выбора начальных условий. Алгоритм не итерационный, поэтому число шагов расчета, которое необходимо для выделения числового интервала, содержащего неизвестное точное значение какого-либо из корней алгебраического уравнения, всегда ограничено. Алгоритм при поиске определенного корня алгебраического уравнения вычислительно полностью автономен.

Keywords

• алгебраическое уравнение
• нелинейное дифференциальное уравнение
• аналитически-численный метод
• приближенное значение корня