Нелокальная краевая задача для уравнения с производными дробного порядка с различными началами

Abstract

Рассматривается линейное обыкновенное дифференциальное уравнение дробного порядка с композицией лево- и правосторонних операторов дробных производных в главной части. Уравнения, содержащие композицию операторов дифференцирования дробного порядка с различными началами, появляются при моделировании различных физических и геофизических явлений. К их появлению приводит использование понятия эффективной скорости изменения параметров моделируемых процессов. В частности, уравнения рассматриваемого в работе вида возникают при описании диссипативных колебательных систем. Дробное дифференцирование понимается в смысле РиманаЛиувилля и Герасимова-Капуто. Для исследуемого уравнения изучается нелокальная краевая задача. Нелокальное краевое условие задано в форме интегрального оператора от искомого решения. При определенном условии на ядро оператора, фигурирующего в нелокальном условии, рассматриваемая задача эквивалентно редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Найдены достаточные условия разрешимости исследуемой задачи, включающее интегральное ограничение на переменный потенциал. В качестве следствия получено неравенство Ляпунова для решений рассматриваемой нелокальной задачи. Показано, что возникающее в решении задачи условие на ядро интегрального оператора из нелокального условия, является необходимым, в том смысле, что при нарушении этого условия единственность решения задачи теряется.

Keywords

• уравнение с дробными производными с различными началами
• нелокальная краевая задача
• производная римана–лиувилля
• производная герасимова–капуто
• неравенство ляпунова
• fractional differential equation with different origins
• nonlocal boundary value problem
• riemann–liouville derivative
• gerasimov–caputo derivative
• lyapunov inequality