Фізико-математична освіта (Jun 2024)
ЗАСТОСУВАННЯ ТЕНЗОРНОЇ АЛГЕБРИ В ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОМУ ЧИСЛЕННІ БАГАТОВИМІРНИХ ВІДОБРАЖЕНЬ
Abstract
Формулювання проблеми. Відомо формули, за якими можна знайти похідну кожного елемента багатовимірного відображення. При цьому досить рідко на практиці використовують матрицю Якобі - першу його похідну, матрицю Гессе – другу похідну скалярної функції кількох змінних, тощо. В той самий час застосування матриць як технічного апарата при розв’язуванні подібних задач виявляється зручним і ефективним. На цьому шляху все ж виникають труднощі, наприклад, при матричному запису похідної від матриці. Виявляється, що для адекватного опису подібних конструкцій варто використовувати тензорні добутки матриць, де разом зі звичайними матрицями та векторами працюють з формальним вектором - лінійним оператором, елементами якого є оператори частинних похідних. При цьому формули для похідної довільного і диференціалу порядку від вектор-функції стають зрозумілими і прозорими. Матеріали і методи. Для дослідження похідних високих порядків багатовимірних відображень широко використовується метод тензорних (кронекерівських) добутків матриць. При цьому похідна довільного порядку вектор-функції визначається як тензорний степінь формального диференціального оператора першого порядку – транспонованого вектора-градієнта. Дія таких тензорних виразів на вектор-функцію дає її похідну відповідного порядку. Це дає змогу описати мовою матриць конструкцію похідних, що на якісному рівні відрізняється від знаходження частинних похідних від кожної компоненти багатовимірного відображення. Результати. За допомогою використання тензорних добутків матриць доведено і детально виписано формули для першої і другої похідних вектор-функцій, а також вказано, як знаходиться похідна довільного порядку. В класичних курсах математичного аналізу, як правило, виписуються матриця Якобі багатовимірного відображення і матриця Гессе (друга похідна) скалярнозначної функції багатовимірного аргументу. В пропонованій статті показано алгоритм знаходження довільної похідної як оператора, що діє в тензорному добутку лінійних просторів, що дає змогу краще усвідомити цю важливу конструкцію математичного аналізу. Висновки. Широке застосування тензорних операцій, в яких діє також формальний вектор-оператор похідної першого порядку виявляється дуже ефективним. Більш того, на цьому шляху вдається показати структуру, з’ясувати, елементами яких лінійних просторів є похідні. На цьому шляху зразу вдається одержати усі похідні шуканого порядку, а не кожну частинну похідну окремо.
