Revista Integración (Nov 2012)
Bifurcación para un problema elíptico con condiciones de frontera no lineales
Abstract
Este artículo presenta un estudio sobre bifurcación para problemas elípticos con condiciones de frontera no-lineales. Consideramos una ecuación elíptica con condiciones de frontera no-lineales dependiendo de un parámetro. Supondremos que el término no lineal es asintóticamente lineal en el infinito. Cuando el parámetro cruza ciertos valores críticos (conocidos como los auto valores de Steklov) aparece un fenómeno de resonancia en la ecuación, lo que garantiza la existencia de ramas no acotadas de soluciones. Este fenómeno se conoce como bifurcación desde infinito. Estudiamos las ramas de soluciones y caracterizamos cuando son subcríticas (a la izquierda del autovalor) o supercríticas (a la derecha del autovalor). Aplicamos estos resultados para obtener condiciones del tipo Landesman-Lazer, que garantizan la existencia de soluciones para el problema resonante (cuando el parámetro coincide con el autovalor). Obtenemos también un Principio del Anti-Máximo, y resultados relativos al comportamiento espectral, cuando se perturba el potencial en la frontera. Además caracterizamos el tipo de estabilidad de las soluciones en dichas ramas no acotadas. En el resto del articulo, analizamos no linealidades oscilatorias y sublineales. Centramos nuestra atención en la pérdida de condiciones del tipo Landesman-Lazer. Incluso en esta situación, demostramos la existencia de una sucesión de infinitas soluciones del problema resonante y una sucesión de infinitos puntos de retroceso. A continuación, analizamos los cambios de estabilidad. Incluso en ausencia de soluciones resonantes, proporcionamos condiciones suficientes para la existencia de una sucesión de infinitas soluciones estables, una sucesión de infinitas soluciones inestables y una sucesión de infinitos puntos de retroceso. También analizamos la bifurcación desde la solución trivial con una no-linealidad de tipo sublineal y oscilatorio. Finalmente establecemos una fórmula para la derivada del autovalor de Steklov localizado sobre un subconjunto de la frontera, con respecto a variaciones tangenciales del subconjunto.
