Finitely curved orbits of complex polynomial vector fields

Abstract

This note is about the geometry of holomorphic foliations. Let X be a polynomial vector field with isolated singularities on C². We announce some results regarding two problems: 1. Given a finitely curved orbit L of X, under which conditions is L algebraic? 2. If X has some non-algebraic finitely curved orbit L what is the classification of X? Problem 1 is related to the following question: Let C Ì C² be a holomorphic curve which has finite total Gaussian curvature. IsC contained in an algebraic curve?Esta nota versa sobre a geometria de folheações holomorfas. Seja X um campo vetorial polinomial complexo com singularidades isoladas. Anunciamos resultados relacionados a dois problemas: 1. Dada uma órbita L de X finitamente curvada sob quais condições L é algébrica? 2. Se X possui alguma órbita não algébrica finitamente curvada L qual é a classificação de X? O problema 1 está relacionado à seguinte questão: Seja C Ì C² uma curva holomorfa com curvatura Gaussiana total finita. C está contida numa curva algébrica?

Keywords

• Folheações holomorfas
• campos de vetores polinomiais
• curvas algébricas
• curvatura total finita
• Holomorphic foliations
• polynomial vector fields
• algebraic curves
• finite total curvature