3- І 5-ІЗОГЕНІЇ СУПЕРСІНГУЛЯРНИХ КРИВИХ ЕДВАРДСА

Abstract

Дан аналіз властивостей і умов існування 3- і 5-ізогеній повних і квадратичних суперсінгулярних кривих Едвардса. Для завдання інкапсуляції ключів на основі алгоритму SIDH запропоновано використовувати ізогенії мінімальних непарних ступенів 3 і 5, що дозволяє обійти проблему особливих точок 2-го і 4-го порядків, характерну для 2-ізогеній. Наведено огляд основних властивостей класів повних, квадратичних і скручених кривих Едвардса над простим полем. Формули для ізогеній непарних ступенів приведені до вигляду, адаптованому до кривих в формі Вейєрштрасса. Для цього використовується модифікований закон складання точок кривої в узагальненій формі Едвардса, який зберігає горизонтальну симетрію зворотних точок кривої. Наведені приклади обчислення 3- і 5-ізогенна повних суперсінгулярних кривих Едвардса над малими простими полями і обговорюються властивості композиції ізогеній для їх обчислення з ядрами високих порядків. Отримано формули верхніх оцінок складності обчислень ізогеній непарних ступенів 3 і 5 в класах повних і квадратичних кривих Едвардса в проективних координатах побудовано алгоритми обчислення 3- і 5-ізогеній кривих Едвардса зі складністю 6M + 4S і 12M + 5S відповідно. Знайдено умови існування суперсінгулярних повних і квадратичних кривих Едвардса порядку 4·3m·5n і 8·3m·5n. Визначено деякі параметри криптосистеми при реалізації алгоритму SIDH на рівні квантової безпеки 128 біт

Keywords

• крива в узагальненій формі едвардса, повна крива едвардса, скручена крива едвардса, квадратична крива едвардса, порядок кривої, порядок точки, ізоморфізм, ізогенія, ступінь ізогенії, ядро ізогенії, квадратичний відрахування, квадратичний невирахування