Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика (Apr 2019)
Метод численного анализа фильтрационных течений под каскадом гидросооружений
Abstract
Фильтрационные течения широко распространены в природе и к необходимости их рассмотрения часто приходят в ходе хозяйственной деятельности. В работе рассматривается задача теории стационарной фильтрации в грунте под каскадом гидросооружений в предположении, что выполняется закон Дарси. Математической моделью этой задачи является эллиптические уравнения для функции тока с краевыми условиями второго рода на участках границы водоема и краевыми условиями первого рода на участках границы, являющимися непроницаемыми для жидкости. При этом в постановку задачи входят неизвестные значения полных расходов жидкости под каждым из гидросооружений каскада, для нахождения которых формулируются дополнительные интегральные соотношения. Для численного анализа задачи предлагается использовать структурно-вариационный метод (метод R-функций), что позволит наиболее полно учесть в вычислительном алгоритме всю геометрическую и аналитическую информацию, которая входит в постановку задачи. В соответствии с принципом суперпозиции от исходной задачи осуществлен переход к набору краевых задач с известными краевыми условиями. Для каждой из этих задач согласно методу R-функций построены структуры решения, точно учитывающие все краевые условия, и обосновано использование вариационного метода Ритца для аппроксимации неопределенной компоненты. После этого из дополнительных интегральных соотношений находятся приближенные значения неизвестных расходов жидкости, а значит, и приближенное решение исходной задачи. Был проведен вычислительный эксперимент для случая постоянного коэффициента фильтрации в области, которая имеет вид нижней половины кольца с двумя полукруглыми заглублениями, расположенными симметрично. Предлагаемый метод численного анализа показал свою эффективность при решении тестовой задачи и может быть использован для решения прикладных задач. Преимуществами разработанного численного метода является возможность получения решения краевой задачи в виде единого аналитического выражения и точное удовлетворение всем краевым условиям.
Keywords
