Несекториальный оператор Штурма–Лиувилля с дискретным спектром

Abstract

Впервые уравнения Штурма-Лиувилля с комплексным потенциалом изучал М.А. Наймарк. М.А. Наймарку удалось найти достаточные условия на комплексный потенциал, когда соответствующий оператор Штурма-Лиувилля на полуоси имеет дискретный спектр. В дальнейшем результат М.А.Наймарка был усилен в работах В.Б. Лидского. Условия на комплексный потенциал, приведенные В.Б. Лидским, гарантируют аккретивность исследуемых операторов Штурма-Лиувилля. Актуальным оставался вопрос о существовании неаккретивных операторов Штурма-Лиувилля с дискретным спектром. В предлагаемой статье дается ответ на указанный вопрос. Для уравнения Штурма–Лиувилля с комплексным потенциалом построено специальное решение, которое убывает на бесконечности и при каждом фиксированном значении независимой переменной является целой функцией спектрального параметра. Используя это решение, получено обобщение известной теоремы В.Б. Лидского об условиях на потенциал, при которых спектр соответствующего оператора Штурма-Лиувилля дискретен, а система корневых векторов полна и минимальна. В отличие от работы В.Б. Лидского, вместо ограниченности снизу вещественной части или полуограниченности мнимой части потенциала требуется лишь, чтобы область значений потенциала лежала вне некоторого угла произвольного раствора с биссектрисой по отрицательной вещественной полуоси.

Keywords

• спектральная неустойчивость
• локализация спектра
• уравнение штурма– лиувилля
• тривиальная монодромия