KPI Science News (Aug 2019)
БРАХІСТОХРОННИЙ РУХ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМУ ВЕКТОРНОМУ ПОЛІ РУХОМОЇ РІДИНИ
Abstract
Проблематика. Оскільки брахістохронний рух матеріальної точки в плоскому векторному полі рухомої рідини раніше не розглядався, то сформульована варіаційна задача про пошук екстремальних траєкторій у такій постановці є новою і актуальною. Мета дослідження. Метою роботи є отримання алгебричних рівнянь екстремальних траєкторій руху, вздовж яких матеріальна точка переміщується від заданої точки старту до заданої точки фінішу за мінімальний час. Методика реалізації. Розв’язання поставленої задачі було виконано за допомогою залучення класичних методів варіаційного числення (для отримання диференціального рівняння траєкторії руху матеріальної точки), а також із використанням рядів Тейлора (для наближеного інтегрування отриманого диференціального рівняння). Для заданого варіанту крайових умов було встановлено наближені алгебричні рівняння екстремалей руху матеріальної точки у вигляді відрізків степеневих рядів. Було проведено порівняльний аналіз часу руху як по екстремальних траєкторіях, так і по альтернативному найкоротшому шляху – по прямій, що безпосередньо сполучає дві задані точки старту і фінішу. Результати дослідження. Показано, що розглянута варіаційна задача має два різних розв’язки, які різняться тільки знаком. При цьому тільки один розв’язок забезпечує мінімальний час руху матеріальної точки між заданими точками старту і фінішу. Дослідженнями також встановлено, що екстремальна траєкторія брахістохронного руху точки не є прямою та має коливальний характер. Висновки. Запропонований підхід дає змогу наперед прокладати такий логістичний маршрут матеріальної точки (моторного човна) в плоскому векторному полі рухомої рідини між заданими точками старту і фінішу, який забезпечує мінімальний час руху між ними. При цьому не обов’язково екстремальною траєкторією в цьому випадку є найкоротша лінія, яка сполучає точки старту і фінішу.
Keywords
