Vestnik KRAUNC: Fiziko-Matematičeskie Nauki (Aug 2024)
О задаче оптимизации для определения вида функциональной зависимости переменного порядка дробной производной типа Герасимова-Капуто
Abstract
При решении задач математического моделирования часто приходится обращаться к теории интегрально-дифференциального исчисления. С ее помощью можно описывать динамические процессы самой разной природы. Использование аппарата дробных производных позволяет уточнить некоторые из этих моделей за счет учета в уравнениях эффекта памяти. Данный эффект выражается в зависимости текущего состояния динамической системы от предыдущих состояний, то есть нелокальности. Интенсивность этого эффекта будет определяться значением показателя степени дробной производной. Классически это некое значение αα является нецелым и постоянным. Однако существуют обобщения дробных производных на случай переменной во времени нелокальности α(t) и других функциональных зависимостей. Подобные дробно-дифференциальные модели все чаще находят свое применение в теории и практике физико-математических, а также технических наук. Однако, учитывая понимание природы моделируемого процесса, подбор различных параметров таких моделей приходится осуществлять эмпирически. Например, модельные параметры уточняются путем перебора значений и сопоставления временных рядов: результатов моделирования и экспериментальных данных, представляющих процесс. Это продолжается до тех пор, пока результаты моделирования не начнут качественно аппроксимировать данные. Такой подход трудоемок, что неизбежно приводит нас к идеям о решении обратных задач. Цель данной работы – показать, что с помощью методов безусловной оптимизации возможно решение обратных задач для определения вида функциональной зависимости α(t). Прямая задача определяется как задача Коши для дробного уравнения, где производная понимается в смысле Герасимова-Капуто с переменным показателем степени дробной производной α(t). Прямая задача решается численно с помощью нелокальной неявной конечно-разностной схемы. Обратная задача определяется как задача дискретной минимизации функции α(t) на основе экспериментальных данных. В качестве метода для решения был выбран итерационный метод Левенберга-Марквардта. На тестовых примерах было показано, что метод Левенберга-Марквардта действительно может быть использован для безусловной оптимизации с целью определения вида функции α(t) и её оптимальных значений в конкретных моделях.
Keywords
