БРАХІСТОХРОННИЙ РУХ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ НА ПОХИЛІЙ ПЛОЩИНІ В ОДНОРІДНОМУ ГРАВІТАЦІЙНОМУ ПОЛІ

Abstract

Проблематика. Варіаційна задача, яка поставлена і розв’язана в цій роботі, є природним узагальненням класичної задачі Бернуллі про пошук брахістохрони у вертикальній площині. В запропонованій постановці вона є новою і актуальною з практичною точки зору в таких галузях, як машинобудування, транспорт і логістика, спортивно-масові заходи тощо. Мета дослідження. На похилій площині знайти таку криву, рухаючись вздовж якої без початкової швидкості в однорідному гравітаційному полі з однієї заданої точки в іншу задану точку цієї площини матеріальна точка здійснить такий перехід за мінімальний час. Методика реалізації. Для досягнення зазначеної мети в роботі використовувались класичні методи варіаційного числення, а саме рівняння Ейлера. Результати дослідження. Побудовано функціонал часу, з використанням якого аналітично виведено диференціальне рівняння просторової брахістохрони, що лежить на похилій площині. Після його інтегрування в замкненій формі отримано алгебричне рівняння брахістохрони. Результати дослідження проілюстровано графічно. У стартовій точці M брахістохрони встановлено напрямок вектора початкової швидкості матеріальної точки. Проведено порівняльний аналіз швидкодії для оптимальної кривої – брахістохрони – та двох альтернативних шляхів руху матеріальної точки. Висновки. Доведено, що проекція брахістохрони на площину OXZ не є циклоїдою. Показано, що вектор початкової швидкості матеріальної точки в стартовій точці M брахістохрони є перпендикулярним осі абсцис. Встановлено, що мінімальний час швидкодії залежить лише від параметра a похилої площини, коефіцієнта k дисипації енергії, а також від координат стартової M і фінішної N точок, через які проходить брахістохрона.

Keywords

• Варіаційна задача
• Брахістохрона
• Циклоїда
• Рівняння Ейлера
• Функціонал часу
• Час швидкодії