Об одном способе решения линейных уравнений над евклидовым кольцом

Abstract

Линейным уравнениям, т.е. уравнениям первой степени, а также системам из таких уравнений уделяется большое внимание как в алгебре, так в теории чисел. Наибольший интерес представляет случай таких уравнений с целыми коэффициентами и при этом их нужно решать в целых числах. Такие уравнения с указанными условиями называют линейными диофантовыми уравнениями. Еще Эйлер рассматривал способы решения линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными, причем один из этих способов был основан на применении алгоритма Евклида. Другой способ решения таких уравнений, основанный на цепных дробях, применялся также Лагранжем. Более удобным и перспективным оказался способ Эйлера, чем способ цепных дробей. В настоящей работе рассматривается один новый способ решения линейных уравнений над евклидовым кольцом, основанный на сравнениях по подходящим модулям. Известный ранее матричный метод решения таких уравнений с увеличением числа неизвестных является довольно громоздким в виду того, что он связан с нахождением обратных к унимодулярным целочисленным матрицам. Существенным в нашем способе решения линейных уравнений над евклидовым кольцом является использование алгоритма Евклида и линейного представления НОД элементов в евклидовом кольце. Доказанная в работе теорема применяется к нахождению решения линейного уравнения с тремя неизвестными над кольцом целых гауссовых чисел, являющимся, как известно, евклидовым кольцом. В заключении приводятся замечания о возможных путях дальнейшего развития изложенного исследования.

Keywords

• линейное уравнение
• евклидово кольцо
• алгоритм евклида
• евклидова норма
• целые гауссовы числа
• сравнение по модулю
• linear equation
• euclidean ring
• euclidean norm
• gaussian integers
• module congruences