ЯК ПОБУДУВАТИ CSIDH НА КВАДРАТИЧНИХ І СКРУЧЕНИХ КРИВИХ ЕДВАРДСА

Abstract

В одної з відомих робіт виявлені некоректна постановка і невірне рішення задачі імплементації алгоритму CSIDH на кривих Едвардса . Дана розгорнена критика цієї роботи с доведенням неспроможності її концепції. Розглянуті специфічні властивості трьох неізоморфних класів суперсингулярних кривих в узагальненої формі Едвардса: повних, квадратичних та скручених кривих Едвардса. Визначені умови існування кривих усіх 3-х класів з порядком кривих p+1 над простим полем . Імплементація алгоритму CSIDH на ізогеніях непарних простих степенів базується на застосуванні пар квадратичного кручення еліптичних кривих. З цією метою алгоритм CSIDH можна будувати як на повних кривих Едвардса з квадратичним крученням всередині цього класу, або на квадратичних і скручених кривих Едвардса, які створюють пари квадратичного кручення. В противагу до цього автори відомої роботи намагаються довести теореми, які стверджують о наявності рішення всередині одного класу кривих з параметром , який є квадратом. Проведено критичний аналіз теорем, лем, помилкових стверджень в цієї роботі. Доведено теорема 2 про квадратичне кручення в класах кривих Едвардса. Приведено модифікація алгоритму CSIDH, побудованого на ізогеніях квадратичних і скручених кривих Едвардса, Для ілюстрації коректного рішення задачі розглянуто приклад обчислень Аліси і Боба в схемі розподілу секретів згідно алгоритму CSIDH при p=239 .

Keywords

• крива в узагальненій формі едвардса, повна крива едвардса скручена крива едвардса, квадратична крива едвардса, порядок кривої, порядок точки, ізоморфізм, ізогенія, w--координати, квадратичний лишок, квадратичний не лишок