Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Gymnica (Sep 2009)
Pontryagin's maximum principle and optimization of the flight phase in ski jumping [Pontrjaginův princip maxima a optimalizace stylu letu ve skoku na lyžích]
Abstract
BACKGROUND: There are several factors (the initial ski jumper's body position and its changes at the transition to the flight phase, the magnitude and the direction of the velocity vector of the jumper's center of mass, the magnitude of the aerodynamic drag and lift forces, etc.), which determine the trajectory of the jumper ski system along with the total distance of the jump. OBJECTIVE: The objective of this paper is to bring out a method based on Pontryagin's maximum principle, which allows us to obtain a solution of the optimization problem for flight style control with three constrained control variables – the angle of attack (a), body ski angle (b), and ski opening angle (V). METHODS: The flight distance was used as the optimality criterion. The borrowed regression function was taken as the source of information about the dependence of the drag (D) and lift (L) area on control variables with tabulated regression coefficients. The trajectories of the reference and optimized jumps were compared with the K = 125 m jumping hill profile in Frenštát pod Radhoštěm (Czech Republic) and the appropriate lengths of the jumps, aerodynamic drag and lift forces, magnitudes of the ski jumper system's center of mass velocity vector and it's vertical and horizontal components were evaluated. Admissible control variables were taken at each time from the bounded set to respect the realistic posture of the ski jumper system in flight. RESULTS: It was found that a ski jumper should, within the bounded set of admissible control variables, minimize the angles (a) and (b), whereas angle (V) should be maximized. The length increment due to optimization is 17%. CONCLUSIONS: For future work it is necessary to determine the dependence of the aerodynamic forces acting on the ski jumper system on the flight via regression analysis of the experimental data as well as the application of the control variables related to the ski jumper's mental and motor abilities. [VÝCHODISKA: Existuje několik faktorů (počáteční poloha skokana na lyžích a její změny v průběhu přechodové fáze letu, velikost a směr vektoru rychlosti pohybu těžiště skokana, velikost aerodynamické odporové a vztlakové síly apod.), které určují trajektorii soustavy skokan + lyže a tím i dosaženou délku skoku. CÍLE: Cílem studie je představit metodu řešení úlohy optimálního řízení letové fáze skoku na lyžích se třemi omezenými řídicími proměnnými – úhel náběhu (a), úhel trup vs. lyže (b), úhel levá lyže vs. pravá lyže (V) – na základě Pontrjaginova principu maxima. METODIKA: Kritériem optimality byla zvolena délka skoku. Jako zdroj informací o závislosti veličin L (lift area) a D (drag area) na řídicích proměnných byla použita převzatá regresní funkce s tabelovanými regresními koeficienty. Srovnány byly trajektorie referenčního a optimalizovaného skoku s profilem můstku K = 125 m ve Frenštátě pod Radhoštěm a stanoveny odpovídající délky skoku, aerodynamické odporové a vztlakové síly, velikosti rychlosti pohybu těžiště soustavy skokan + lyže, její vertikální a horizontální složky. Aby byly respektovány reálné polohy v letové fázi skoku, přípustné hodnoty řídicích proměnných náležely v každém okamžiku ohraničené množině. VÝSLEDKY: Bylo zjištěno, že skokan by měl na ohraničené množině přípustných hodnot řídicích proměnných minimalizovat úhly (a) a (b), úhel (V) naopak maximalizovat. Prodloužení skoku vlivem optimalizace je 17 %. ZÁVĚRY: Pro možnost dalšího výzkumu je nezbytné využití regresní analýzy pro experimentální data při určení závislosti aerodynamických sil působících během letu na soustavu skokan + lyže. To platí také pro aplikaci kontrolních proměnných vztahujících se k základním fyzickým a psychickým vlastnostem skokanů na lyžích.]
