Асимптотика решений уравнения Штурма–Лиувилля с мероморфным потенциалом

Abstract

В предлагаемой работе изучается вопрос о влиянии полюсов потенциала на асимптотику ре- шений соответствующего уравнения Штурма–Лиувилля при больших значениях спектраль- ного параметра. Показано, что асимптотика решений в существенном зависит от того, вы- полняется или нет для полюсов потенциала условие тривиальной монодромии. Так, если кривая и стягивающая ее хорда не содержат полюсов потенциала, а все полюса, лежащие внутри области, ограниченной кривой и ее хордой, удовлетворяют условию тривиальной мо- нодромии, то результат аналитического продолжения вдоль этой кривой решения с любыми начальными условиями на одном из концов кривой имеет такую же асимптотику, как в слу- чае голоморфного потенциала. Если внутри области, ограниченной кривой и ее хордой, есть хотя бы один полюс, не удовлетворяющий условию тривиальной монодромии, то асимпто- тика аналитического продолжения вдоль рассматриваемой кривой любого фиксированного решения будет определяться матрицами монодромии части полюсов, лежащих внутри ука- занной области. Основываясь на полученных оценках, найдена асимптотика спектра опера- тора Штурма–Лиувилля на кривой, потенциал которого имеет внутри выпуклой оболочки указанной кривой один полюс второго порядка, не удовлетворяющий условию тривиальной монодромии.

Keywords

• асимптотика решений
• безмонодромные потенциалы