Задача Коши для нагруженного линейного уравнения с частными производными первого порядка

Abstract

Как хорошо известно, наличие характеристик является очень существенным при исследовании задачи Коши для дифференциальных уравнений с частными производными независимо от его порядка. В случае, если дифференциальное уравнение с частными производными является нагруженным, то для однозначной разрешимости задачи Коши возникают дополнительные условия разрешимости, зависящие от вида следа нагрузки. Эти условия возникают даже для простейших линейных нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными, начиная с первого порядка и выше. Основная цель данной работы – проиллюстрировать возникающие эффекты на примере исследования задачи Коши для линейного нагруженного уравнения в частных производных первого порядка. Так как корректность поставленной задачи Коши эквивалентным образом редуцируется к интегральному уравнению второго рода, то основной метод, применяемый для доказательства его разрешимости – метод последовательных подстановок. Основной вывод заключается в том, что разрешимость задачи Коши для нагруженного уравнения в частных производных существенным образом зависит от выбора следа нагрузки. В случае, когда разрешимость задачи Коши доказана, оказывается, что область влияния данных Коши не ограничивается только характеристиками, а появляются новые не характеристические линии, за которые данные Коши однозначно продолжаться не могут.

Keywords

• дифференциальные уравнения с частными производными
• нагруженное дифференциальное уравнение
• задача коши
• интегральное уравнение
• метод последовательных подстановок
• характеристики дифференциального уравнения
• корректная задача
• differential equations
• loaded differential equation
• cauchy problem
• integral equation
• method of successive substitutions
• characteristics of a differential equation
• well-posed problem