Anais da Academia Brasileira de Ciências (Sep 2002)
Graphs with constant mean curvature in the 3-hyperbolic space
Abstract
In this work we will deal with disc type surfaces of constant mean curvature in the three dimensional hyperbolic space which are given as graphs of smooth functions over planar domains. From the various types of graphs that could be defined in the hyperbolic space we consider in particular the horizontal and the geodesic graphs. We proved that if the mean curvature is constant, then such graphs are equivalent in the following sense: suppose that M is a constant mean curvature surface in the 3-hyperbolic space such that M is a geodesic graph of a function rho that is zero at the boundary, then there exist a smooth function f that also vanishes at the boundary, such that M is a horizontal graph of f. Moreover, the reciprocal is also true.Consideramos superfícies com curvatura média constante no 3-espaço hiperbólico que sãodadas como gráfico de uma funçãosuave definida em um aberto limitado e simplesmente conexo contido em um hiperplano totalmente geodésico. Dos vários tipos de gráficos que podemos definir no espaço hiperbólico consideramos em particular o gráfico horizontal e o geodésico. Provamos que se a curvatura média é constante, entãotais gráficos são equivalentes no seguinte sentido: suponha que M é uma superfície de curvatura média constante no 3-espaço hiperbólico tal que M é o gráfico geodésico de uma função ro que se anula no bordo do seu domínio, entãoexiste uma outra funçãosuave f que também se anula no bordo e tal que M é o gráfico horizontal de f. Além disso, a recíproca é verdadeira.
Keywords
