Итерационная реализация спектрального метода Чебышева для двумерных эллиптических уравнений с переменными коэффициентами

Abstract

Построены и исследованы два варианта итерационных алгоритмов реализации спектрального метода Чебышева для двумерных эллиптических уравнений с переменными коэффициентами. Рассмотренные алгоритмы основаны на использовании стабилизированной версии итерационного метода бисопряженных градиентов с комбинированным переобусловливателем в виде диагональной матрицы коэффициентов уравнения и дискретного аналога оператора Лапласа, представленного конечно-разностной или спектральной аппроксимацией. Для обработки дискретного аналога оператора Лапласа в первом случае реализован итерационный метод переменных направлений с оптимальным набором итерационных параметров, а во втором случае – алгоритм Бартельса – Стюарта. На основе численных экспериментов показана высокая эффективность предлагаемых алгоритмов. В обоих случаях количество итераций практически не зависит от размерности сетки и умеренно возрастает при увеличении степени неоднородности коэффициентов задачи. Вычислительная сложность алгоритмов характеризуется величиной O(NN1/2), где N – количество узлов сетки. Несмотря на существенную субоптимальность вычислительной сложности, при размерности сетки N = n × n, n ≤ 300, временные затраты на реализацию алгоритмов демонстрируют значения не хуже, чем у алгоритмов оптимальной вычислительной сложности O(N).

Keywords

• спектральные методы чебышева
• метод бисопряженных градиентов
• метод переменных направления
• алгоритм бартельса – стюарта
• эллиптические уравнения