О гладкости одной полупериодической краевой задачи для трёхмерного уравнения смешанного типа второго рода второго порядка в неограниченной области

Abstract

В работе А.В. Бицадзе показано, что задача Дирихле для уравнения смешанного типа некорректна. Естественно возникает вопрос: нельзя ли заменить условия задачи Дирихле другими условиями, охватывающими всю границу, которые обеспечивают корректность задачи? Впервые такие краевые задачи (нелокальные краевые задачи) для уравнения смешанного типа были предложены и изучены в работах Ф.И. Франкля. Как близкие по постановке к изучаемым, задачи для уравнения смешанного типа второго рода в ограниченных областях исследованы в работе С. Джамалова. Для уравнений смешанного типа второго рода второго порядка в неограниченных областях полупериодические краевые задачи в трёхмерном случае практически не исследованы. В данной работе исследуется единственность, существование и гладкость обобщенного решения полупериодической краевой задачи для уравнения смешанного типа второго рода, второго порядка в неограниченной области. В предлагаемой статье методом интегралов энергии доказывается единственность обобщенного решения задачи. Для доказательства существования и гладкости обобщенного решения задачи использованы методы «ε-регуляризации» и априорные оценки с применением преобразования Фурье

Keywords

• уравнение смешанного типа второго рода
• полупериодическая краевая задача
• преобразование фурье
• анизотропное пространство соболева
• интеграл энергии
• единственность решения
• метод
• mixed-type equation of the second kind
• semi-periodic boundary value problem
• fourier transform
• anisotropic sobolev space
• energy integral
• uniqueness of solution
• "ε-regularization"methods
• a priori estimates
• existence and smoothness of a generalized solution