Intermaths (Jun 2022)

O Números Congruentes e Curvas Elípticas: Conexões

  • Jaime Edmundo Apaza Rodriguez

Journal volume & issue
Vol. 3, no. 1

Abstract

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As Curvas Elípticas têm sido muito usadas para o tratamento de problemas importantes como a Criptografia, o Problema do Empacotamento de Esferas, o Problema dos Números Congruentes, entre outros. Uma das principais características de uma Curva Elíptica E é que o conjunto de seus pontos racionais, E(Q), tem uma estrutura de grupo abeliano finitamente gerado. Especificamente tem-se o famoso teorema provado por Mordell, para Curvas Elípticas Racionais, (em 1922) e generalizado por Weil para Curvas Elípticas sobre Corpos de Números (em 1928), o qual afirma que E(Q) é um grupo abeliano finitamente gerado. O teorema de estrutura para grupos finitamente gerados garante que é possível decompor o grupo E(Q) na forma E(Q) = E(Q)_{tor} + Z}^r, onde E(Q)_{tor} é o subgrupo de pontos de torção (elementos de ordem finito) e r é um número inteiro chamado o posto de E(Q) (posto algébrico da curva elíptica, um invariante da curva). Por outro lado, um número racional é dito congruente se ele representa a área de um triângulo retângulo cujos lados são números racionais. O problema dos Números Congruentes consiste precisamente em determinar se um dado número racional é congruente ou não. Neste trabalho apresentamos este problema e discutimos um resultado que estabelece a relação entre Números Congruentes e Curvas Elípticas.

Keywords