Науковий вісник НЛТУ України (Dec 2024)
Методи генерування поліномів Люка та особливості їх використання для шифрування даних
Abstract
Розроблено методи генерування послідовностей поліномів Люка n-го степеня як основи для шифрування потокових і блокових даних, що дає можливість ефективно передавати каналами зв'язку відповідні повідомлення різної величини. З'ясовано, що за останнє десятиліття надруковано значну кількість публікацій, в кожній з яких обґрунтовано різні підходи до генерування поліномів Люка та доведено доцільність їх використання для шифрування даних. Проте, більшість досліджень стосується окремих процедур захисту даних, що в теорії та практиці криптографії трапляються вкрай рідко. Встановлено основну складність проблеми генерування послідовностей поліномів Люка n-го степеня, які є основою шифрування потокових і блокових даних, що дасть можливість здійснювати ефективний їх захист. Наведено відомі способи подання чисел Фібоначчі та Люка, а також поліномів Люка, які можна застосувати у традиційному методі шифрування даних. Встановлено, що в послідовностях чисел Фібоначчі та Люка, де відношення двох послідовних елементів наближається до золотого перерізу, їхні члени є наближеннями цілих степенів золотого перерізу. Запропоновано метод матричного подання поліномів Люка та їх обернених еквівалентів, які можна застосувати у традиційному методі шифрування даних. Для цього необхідно перемножити спеціальну матрицю n-го порядку з відповідними коефіцієнтами на поліном n-го степеня, внаслідок чого отримаємо набір поліномів Люка Ln(x) відповідного степеня. Зазвичай, спеціальна матриця є нижньою трикутною матрицею, всі елементи головної діагоналі якої одиниці. Розроблено метод генерування поліноміальних матриць Люка n-го степеня та їх обернених матриць, елементами яких є поліноми Люка, які можна застосувати у традиційному методі шифрування даних. Оскільки поліноміальні оберненні матриці використовують для розшифрування даних, то процедура їхнього генерування має мати загальний вигляд. Розроблено ПЗ, яке дає змогу генерувати поліноміальні матриці Люка n-го степеня та m-го поряду, а також їхні обернені поліноміальні матриці аналогічного степеня та поряду. За результатами виконаного дослідження зроблено висновки та надано відповідні рекомендації щодо їх практичного використання як основи для шифрування потокових і блокових даних.
Keywords
