La ecuación de Navier-Stokes y multifractales

Abstract

No existe, en la actualidad, un teorema general sobre la existencia y la unicidad de las soluciones de la ecuaci´on de Navier-Stokes, la cual describe el flujo de un fluido viscoso e incompresible. ´Este es un problema abierto a nivel internacional, llamado el Problema del Premio del Milenio, por el cual el Instituto Clay de Francia est´a ofreciendo 1 mill´on de d´olares, desde mayo de 2000. Nuestro prop´osito, con el presente art´?culo, es presentar una revisi´on breve sobre los aspectos m´as importantes de la evoluci´on y estado actual del problema. Nuestro aporte es la descripci´on anal´?tica de la turbulencia, completamente desarrollada, a trav´es de las tasas de la resoluci´on y de los rasgos de procesos multifractal, como una colecci´on de procesos de Cantor generalizados. Presentamos cuatro modelos para la distribuci´on de las variaciones de la velocidad; el primero lo basamos en los tiempos de vida y funciones de riesgo para la interacci´on entre los v´ortices y su posterior fragmentaci´on en v´ortices cada vez m´as peque˜nos y m´as numerosos; el segundo, se basa en las pruebas de Bernoulli potenciadas, y encontramos el n´umero de rasgos, el espectro y la funci´on de estructura. Encontramos la relaci´on de los par´ametros de forma con la dimensi´on caja del m´aximo del espectro; como tambi´en, con las dimensiones locales. Y, describimos cuantitativamente el ´arbol asociado. Las tasas mencionadas nos sirven de soporte, no s´olo, para la descripci´on de un modelo tridimensional de turbulencia intermitente, que generaliza el resultado paradigm´atico de Kolmogorov; sino adem´as, la energ´?a transferida en cada etapa del proceso de fractalizaci´on; como tambi´en, el n´umero de los exponentes caracter´?sticos, el cual produce una cota superior para la dimensi´on de Hausdorff del conjunto de singularidades de las soluciones. Palabras clave: Navier-Stokes, turbulencia, intermitencia, multifractales, gradientes de velocidad.