Квазіоптимальне керування в задачах із мінімальноюеэнергією для параболічних рівнянь із нелокальними крайовими умовами

Abstract

Розглянуто однопараметричне сімейство початково-крайових задач для одновимірного рівняння теплопровідності з нелокальними крайовими умовами, які містять дійсний параметр. Крайові умови цієї задачі не є посилено регулярними за жодного значення параметру. Система власних функцій оператора другої похідної, підпорядкованого крайовим умовам не утворює базис Ріса в L2(0,1) і не є повною. Для параболічного рівняння з нелокальними крайовими умовами з дійсним параметром розглядається класична задача теорії оптимального керування системами з розподіленими параметрами — керування з мінімальною енергією в спеціальній нормі. В цій роботі вихідну двовимірну задачу з мінімальною енергією замінено двома одновимірними задачами, тобто дано квазіоптимальне наближення розв’язку в задачах із мінімальною енергією для параболічного рівняння з нелокальними крайовими умовами у випадку розподіленого керування зі спеціальним критерієм якості. Застосовуючи метод відокремлення змінних, отримано розв’язок, який представлено у вигляді рядів по біортогональному базису Рісса, які збігаються до неперервних функцій. Проведено порівняльний аналіз оптимального та квазіоптимального керувань.