Известия Алтайского государственного университета (Mar 2021)
Собственные значения оператора Риччи на четырехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразиях с четырехмерной подгруппой изотропии
Abstract
Вопрос о восстановлении (псевдо)риманова многообразия по заданному оператору Риччи изучался в работах многих математиков. Данная задача была решена О. Ковальским и С. Никшевич для случая трехмерных локально однородных римановых многообразий. В случае трехмерных локально однородных лоренцевых многообразий известна работа Дж. Кальварусо и О. Ковальского, в которой найден ответ на выше поставленный вопрос. В четырехмерном случае подобные исследования проводились лишь в случае групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой. В работах А.Г. Кремлева и Ю.Г. Никонорова определены возможные сигнатуры собственных значений оператора Риччи, однако вопрос о восстановлении четырехмерной группы Ли с левоинвариантной римановой метрикой по заданному оператору Риччи остается открытым. Данная работа посвящена изучению собственных значений оператора Риччи на четырехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразиях с четырехмерной подгруппой изотропии. Приведен алгоритм вычисления собственных значений оператора Риччи. Доказана теорема о восстановлении таких многообразий по заданному оператору Риччи. Установлено, что это возможно лишь в случае, когда предписанный оператор диагонализируем и имеет единственное собственное значение кратности четыре.
Keywords