Науковий вісник НЛТУ України (May 2023)
Математичні моделі визначення температурних полів у елементах електронних пристроїв із напівнаскрізними чужорідними включеннями
Abstract
Розроблено лінійну та нелінійну математичні моделі визначення температурного поля, а в подальшому і аналізу температурних режимів в ізотропних просторових середовищах із напівнаскрізними чужорідними теплоактивними включеннями. Для цього коефіцієнт теплопровідності для таких структур описано єдиним цілим за допомогою асиметричних одиничних функцій, що дає змогу розглядати крайові задачі теплопровідності з одним лінійним та нелінійним диференціальними рівняннями теплопровідності з розривними та сингулярними коефіцієнтами та лінійними і нелінійними крайовими умовами на межових поверхнях середовищ. У випадку нелінійної крайової задачі запроваджено лінеаризуючу функцію, із використанням якої лінеаризовано вихідне нелінійне рівняння теплопровідності та нелінійні крайові умови і внаслідок отримано частково лінеаризоване диференціальне рівняння другого порядку з частковими похідними та розривними і сингулярними коефіцієнтами відносно лінеаризуючої функції з частково лінеаризованими крайовими умовами. Для остаточної лінеаризації частково лінеаризованих диференціального рівняння та крайових умов виконано апроксимацію температури за однією з просторових координат на межових поверхнях включення кусково-сталими функціями, внаслідок чого як диференціальне рівняння, так і крайові умови отримуються цілком лінеаризованими. Для розв'язування отриманої лінійної крайової задачі використано метод інтегрального перетворення Генкеля, внаслідок чого отримано аналітичний розв'язок, який визначає запроваджену лінеаризуючу функцію. Як приклад, вибрано лінійну залежність коефіцієнта теплопровідності конструкційних матеріалів структури від температури, яку часто використовують у багатьох практичних задачах. У результаті отримано аналітичні співвідношення у вигляді квадратних рівнянь для визначення розподілу температури у термочутливому шарі з чужорідним напівнаскрізним включенням, в області якого зосереджено внутрішні джерела тепла. Для аналізу теплообмінних процесів у окремих вузлах та елементах наведеної конструкції, зумовлених внутрішнім тепловим навантаженням, на підставі отриманих аналітично-числових розв'язків відповідних крайових задач можна розробляти програмні засоби, які дають змогу геометрично відобразити розподіл температури за просторовими координатами в цій конструкції. Як наслідок, стає можливим підвищити її термостійкість і захистити від перегрівання, яке може спричинити руйнування не тільки окремих структурних вузлів та елементів, а й всієї конструкції.
Keywords
