کنترل‌پذیری در سامانه‌های دینامیکی غیرخطی: مدل بخش‌بندی جمعیتی

Abstract

کنترل سامانه‌های غیرخطی و رساندن آن به حالت پایدار، یکی از موضوعات مهم در سامانه‌های پیچیده است. سامانه‌ای کنترل‌پذیر است که بتوان آن را در بازۀ زمانی محدود، از هر حالتی به حالت مطلوب رساند. مدل بخش‌بندی جمعیتی یک روش استاندارد ریاضی است که برای تحلیل تحول زمانی سامانۀ پیچیده به کار می‌رود. سامانۀ غیرخطی سه بعدی با آستانۀ گذار را در نظر می‌گیریم . فقط یک حالت پایدار (نقطۀ ثابت تعادل) دارد که در زمان طولانی به آن می‌رسد. هدف این است که این سامانه را در شروع دینامیک به سمت نقطۀ ثابت پایدار مطلوب ببریم (زمان محدود). این سامانه با مدل بخش‌بندی جمعیتی توصیف شده است. با استفاده از راهبرد کنترل سامانه‌های دینامیکی چند‌بعدی، تبدیل بندادی را پیشنهاد دادیم که از آن تابع کنترل به‌دست آمد. برای اثبات این که نقاط ثابت سامانه پایدار هستند از روش پایداریِ خطی و قضیۀ دایره‌های گرشگورین استفاده کردیم. با حل عددی معادلات دیفرانسیل پس از کنترل، سامانه در بازۀ زمانی محدود به نقاط ثابت مطلوب رسیدند. با رسم فضای حالت برای نقاط ثابت مختلف، پنج منطقه به‌دست آمد. نقاط ثابتی را یافتیم که تابع کنترل می‌تواند سامانه را در مدت زمان محدود به حالت پایدار برساند. نشان دادیم که بعضی از نقاط ثابت غیر فیزیکی هستند.

Keywords

• سامانه‌های پیچیده
• سامانه‌های دینامیکی غیرخطی
• کنترل پذیری
• قضیۀ دایره‌های گرشگورین
• مدل بخش‌بندی جمعیتی