Нелокальная начально-граничная задача для вырождающиегося уравнения четвертого порядка с дробной производной Герасимова-Капуто

Abstract

В последнее время интенсивно изучаются начально – граничные задачи в прямоугольной области для дифференциальных уравнений в частных производных как четного, так и нечетного порядка. При этом в качестве объекта исследования, в основном, берется не вырождающееся уравнение или уравнение, вырождающееся на одной стороне четырехугольника. Начально – граничные задачи (как локальные, так и нелокальные) для уравнений с двумя или тремя линиями вырождения остаются неизученными. В данной работе в прямоугольной области рассмотрено уравнение четвёртого порядка, вырождающееся на трех сторонах четырехугольника и содержащее оператор дробного дифференцирования Герасимова –Капуто. Для этого уравнения сформулирована и исследована одна начально – граничная задача с нелокальными условиями, связывающими значения искомой функции и её производных до третьего порядка (включительно), принимаемых на боковых сторонах прямоугольника. Сначала методом интегралов энергии доказана единственность решения поставленной задачи. Затем, исследована спектральная задача, возникающая при применении метода Фурье, основанном на разделении переменных, к поставленной начально – граничной задаче. Построена функция Грина спектральной задачи, с помощью чего она эквивалентно сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром, откуда следует существование счетного числа собственных значений и собственных функций спектральной задачи. Доказана теорема разложения заданной функции в равномерно сходящийся ряд по системе собственных функций. С помощью найденного интегрального уравнения и теоремы Мерсера доказана равномерная сходимость некоторых билинейных рядов, зависящих от найденных собственных функций. Установлен порядок коэффициентов Фурье. Решение изучаемой задачи выписано в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Исследована равномерная сходимость этого ряда и рядов, полученных из него почленным дифференцированием. Получена оценка для решения задачи, откуда следует его непрерывная зависимость от заданных функций.

Keywords

• вырождающееся уравнение четвертого порядка
• начально-краевая задача
• метод разделения переменных
• спектральная задача
• функция грина
• интегральное уравнение
• существование
• единственность и устойчивость решения
• degenerate fourth order equation
• initial boundary value problem
• method of separation of variables
• spectral problem
• green’s function
• integral equation
• existence
• uniqueness and stability of the solution