Análise Complexa e Geometria Diferencial de certas Superfícies do Espaço hiperbólico

Abstract

Desde os tempos de Gauss, Riemann e de outros que a GeometriaDiferencial entrelaça-se com a Análise Complexa. Um dos mais belos efeitos disto é a bem conhecida representação de Weierstrass para superfícies mínimas de R^3, consistindo de dados meromorfos (f,g) que descrevem inteiramente uma tal superfície. O estudo da análise complexa aplicado neste contexto, ao longo das últimas décadas,tem produzido vertiginosos resultados e tem desenvolvido esta teoria para além das expectativas. Já é bem conhecido que as superfícies mínimas simplesmente conexas de R^3 pode-se associar suas primas no espaço hiperbólico tridimensional H^3 que possuem curvatura média igual a 1. Tal relação segue do teorema fundamental da Geometria, calcado nas equações de Gauss e de Codazzi-Mainardi. O fato é quetambém existem dados meromorfos sobre as superfícies de curvatura média 1 em H^3, o que sob um ponto de vista filosófico é de se esperar. Este é o escopo destas notas: Explicar um pouco as origens desta teoria e suas ligações com a teoria clássica das superfícies mínimas de R^3 e apresentar os dados meromorfos e exemplos, segundo um trabalho recente do autor com Toubiana. Como o espço hiperbólicopossui vários modelos naturais, diferentemente do espaço Euclideano, existem vários pontos de vistas alternativos nesta teoria revelando a riqueza inigualável da Geometria Hiperólica. Isto tem sido estabelecido por R. Bryant, Umehara,Yamada que são os pioneiros na moderna abordagem deste assunto. Notáveis trabalhos nesta área também têm sido compilados por Rossman, Small, Rosenberg, Collin, Hausswirth e Toubiana. De modo que fervilham resultados que exibem a pujança do link Análse Complexa, Geometria Hiperbólica & Geometria Diferencial.

Keywords

• representação de Weierstrass para superfícies mínimas
• espaço hiperbólico tridimensional H^3 .