Екстремальні задачі для неперіодичних сплайнів на дійсній осі та їх похідних

Abstract

Для заданих $r \in \mathbb{N}$; $h, p, A > 0$ і довільного фіксованого відрізка $[a,b] \subset \mathbb{R}$ розв'язана екстремальна задача $\int\limits_a^b |s(t)|^q dt \rightarrow \sup$, $q \geqslant p$ на множині всіх неперіодичних сплайнів $s$ порядку $r$ мінімального дефекту з вузлами у точках $kh$, $k \in \mathbb{Z}$, що задовольняють умову $\| s \| _{p, \delta} \leqslant A \| \varphi_{\lambda, r} \|_{p, \delta}$, $\lambda = \pi / h$, $\delta \in (0, \pi / \lambda]$, де $\| s \|_{p, \delta} := \sup \{ \| s \|_{L_p[a,b]} \colon a, b \in \mathbb{R}, 0 < b - a \leqslant \delta\}$, а $\varphi_{n, r}$ --- $(2\pi / \lambda)$-періодичний сплайн Ейлера порядку $r$. Як наслідок, розв'язана та ж сама екстремальна задача для проміжних похідних $s^{(k)}$, $k = 1, ..., r-1$, при $q \geqslant 1$.

Keywords

• Задача Боянова-Найденова
• неперіодичний сплайн
• перестановка
• теорема порiвняння