Общие, ограниченные и многопериодические решения линейного уравнения с дифференциальным оператором по главной диагонали

Abstract

В статье определена структура общего решения линейного уравнения n-го порядка с дифференциальным оператором по направлению главной диагонали пространства независимых переменных и коэффициентами, постоянными на характеристике этого оператора при некоторых условиях на собственные значения. Предположено, что коэффициенты и заданная вектор-функция обладают свойствами периодичности и гладкости, где периоды – рационально несоизмеримые положительные постоянные. Сначала исследовано однородное уравнение, которое с помощью замены сводится к однородной линейной системе. Далее, на этой основе, в терминах собственных значений устанавливаются условия существования периодических по всем независимым переменным (многопериодическим) решений линейного уравнения. Дано интегральное представление многопериодического решения неоднородного уравнения. Установлены условия существования и единственности ограниченного и многопериодического решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка. Показано, что ограниченное решение неоднородного уравнения является периодическим по всем переменным решением с переменным ограниченным периодом. Это есть одна из специфических особенностей уравнений с оператором дифференцирования по направлению главной диагонали.

Keywords

• линейное уравнение
• дифференциальный оператор
• многопериодическое решение
• интегральное представление