Застосування експоненціальних функцій в методі зважених нев’язок в структурній механіці на прикладі статичного та вібраційного аналізу прямокутної пластини

Abstract

Дослідження є продовженням наших зусиль щодо застосування спеціально побудованих наборів послідовних експоненціальних функцій як пробних (базисних) функцій в методі зважених нев’язок (МЗН) на прикладі класичних задач конструкційної механіки. Стаття не направлена на отримання нових результатів, а присвячена обґрунтуванню ефективності запропонованого методу. Розглядаються статична деформація та вільні коливання ізотропної тонкостінної квадратної пластини. Особливістю роботи є вибір вагових (перевірочних) функцій в трьох варіантах: як пробних функцій (метод Гальоркіна, МГ); як функцій, що є результатом застосування диференціального оператора до пробних функцій (метод найменших квадратів, МНК); як функцій, які є добутком других похідних від пробних функцій по x і y (метод моментів, ММ). Розв’язок будується як добуток двох незалежних множин функцій відносно координат x та y. Кожна множина є комбінацією п'яти послідовних експоненціальних функцій, де перший коефіцієнт дорівнює 1, а чотири інші коефіцієнти визначаються з граничних умов на протилежних сторонах пластини. Довільним параметром в методі є коефіцієнт масштабування в показниках, розумний діапазон якого ретельно досліджено і показано його вплив на результати. Статична деформація досліджена на прикладі простої шарнірно-опертої пластини, коли зовнішнє навантаження або симетричне і зосереджене поблизу центру пластини, або зміщене від центра до будь-якої кутової точки. Продемонстровано, що результати сходяться до точного рішення швидше, ніж у класичному методі Нав'є. ММ та МНК дають кращу точність при визначенні згинаючих моментів, ніж МГ. Запропонований метод застосований до аналізу вільних коливань пластини, точність результатів визначення власних частот є відмінною навіть при невеликій кількості членів ряду. Проаналізовано порівняно складний випадок – вільні коливання защемленої на всіх сторонах пластини, досягнуто дуже хороших результатів щодо ефективності та точності.

Keywords

• прямокутна пластина; зміщене навантаження; метод зважених нев’язок; метод Бубнова-Гальоркіна; вагові функції; вільні коливання пластини; защемлена пластина; власні частоти.