Kelvin Notation for Stabilizing Elastic-Constant Inversion Notation Kelvin pour stabiliser l'inversion de constantes élastiques

Abstract

Inverting a set of core-sample traveltime measurements for a complete set of 21 elastic constants is a difficult problem. If the 21 elastic constants are directly used as the inversion parameters, a few bad measurements or an unfortunate starting guess may result in the inversion converging to a physically impossible solution . Even given perfect data, multiple solutions may exist that predict the observed traveltimes equally well. We desire the inversion algorithm to converge not just to a physically possible solution, but to the best(i. e. most physically likely) solution of all those allowed. We present a new parameterization that attempts to solve these difficulties. The search space is limited to physically realizable media by making use of the Kelvin eigenstiffness-eigentensor representation of the 6 x 6 elastic stiffness matrix. Instead of 21 stiffnesses, there are 6 eigenstiffness parametersand 15 rotational parameters . The rotational parameters are defined using a Lie-algebra representation that avoids the artificial degeneracies and coordinate-system bias that can occur with standard polar representations. For any choice of these 21 real parameters, the corresponding stiffness matrix is guaranteed to be physically realizable. Furthermore, all physically realizable matrices can be represented in this way. This new parameterization still leaves considerable latitude as to which linear combinations of the Kelvin parameters to use, and how they should be ordered. We demonstrate that by careful choice and ordering of the parameters, the inversion can be relaxedfrom higher to lower symmetry simply by adding a few more parameters at a time. By starting from isotropy and relaxing to the general result in stages (isotropy, transverse isotropy, orthorhombic, general), we expect that the method should find the solution that is closest to isotropy of all those that fit the data. L'inversion d'un ensemble de mesures du temps de parcours d'une carotte-échantillon pour la détermination d'un groupe complet de 21 constantes élastiques est un problème difficile. Si nous utilisons directement les 21 constantes élastiques comme paramètres d'inversion, quelques mesures incorrectes ou une malheureuse hypothèse de départ, peuvent faire que l'inversion aboutit à une solution physiquement impossible. Même en disposant de données parfaites, de multiples solutions peuvent expliquer les temps de parcours observés. Notre objectif est de faire en sorte que l'algorithme d'inversion donne non seulement une solution physiquement possible, mais la meilleuresolution (autrement dit la plus physiquement vraisemblable) de toutes celles possibles. Nous présentons une nouvelle paramétrisation qui tente d'éliminer ces difficultés. Nous limitons l'espace de recherche à des solutions physiquement réalisables en utilisant la représentation de Kelvin rigidité propre-tenseur propre de la matrice 6 x 6 de rigidité élastique. On a 6 paramètres de rigidité propre et 15 paramètres de rotation au lieu de 21 paramètres de rigidité. Les paramètres de rotations sont définis à l'aide de la représentation des algèbres de Lie qui évite les dégénérescences artificielles et le biais induit par une représentation classique à l'aide d'un système de coordonnées. On a la certitude de pouvoir réaliser physiquement la matrice de rigidité correspondante pour n'importe quel choix de ces 21 paramètres réels. Il est par ailleurs possible de représenter de cette façon toutes les matrices physiquement réalisables. Cette nouvelle paramétrisation laisse toujours une latitude considérable quant aux choix des combinaisons linéaires des paramètres de Kelvin à utiliser et à la façon dont ils doivent être ordonnés. Nous démontrons que, grâce à un choix et à un arrangement précis des paramètres, le résultat de l'inversion peut évoluer de la symétrie la plus forte à la symétrie la plus faible par une introduction progressive des paramètres. En permettant l'évolution par étapes (isotropie, isotropie transversale, orthorhombique, anisotropie générale), la méthode doit déboucher sur la solution la plus isotrope de toutes celles qui expliquent les données.