Краевая задача, ассоциированная с диффеоморфизмом между римановыми многообразиями

Abstract

Рассмотрена конструкция оператора Лапласа в L2-версии по мере в контексте диффеоморфизма между (бесконечномерными) римановыми многообразиями. Получена связь между операторами замыкания градиента, граничным оператором следа и дивергенции по мере на диффеоморфных римановых многообразиях. Показано, что в случае корректности определения замыкания градиента, граничного оператора следа и дивергенции на римановом многообразии соответствующие операторы на диффеоморфном с ним римановом многообразии тоже корректно определены. Как результат полученной связи между операторами расширен класс решаемых задач (задач, которые имеют, притом единственное, решение) на римановом многообразии (и на гильбертовом пространстве как частном случае риманова многообразия) сведением задачи специального типа к ассоциированной с ней задаче Дирихле.

Keywords

• Гильбертово пространство
• риманово многообразие
• диффеоморфизм
• борелевская мера
• дифференцирование мер
• оператор Лапласа