Macroscopic Equations Derived from Space Averaging for Immiscible Two-Phase Flow in Porous Media Équations macroscopiques d'un écoulement de deux phases immiscibles en milieu poreux déduites par prise de moyenne spatiale

Abstract

Models of instabilities in porous media usually assume that the capillary pressure (the difference of pressure between the nonwetting and the wetting phase) depends on the radii of the macroscopic curvature of the two-phase front. However, this definition is not taken into account for modeling stable immiscible displacements in porous media whenever the heterogeneity of the porous medium may lead to high macroscopic curvature of the front. Before trying to solve flow equations in porous media under unstable conditions, a more accurate and complete set of equations for immiscible two-phase flow in porous media is required. Space averaging of microscopic equations valid at the pore level is used to define variables and equations that link these variables at the macroscopic scale. The thermodynamics of irreversible processes completes the set of equations. If some coupling between the flow of both phases is introduced, the relative permeability equation is proved to be valid, even with moving interfaces. Capillary pressure appears to be twofold; i. e. a static capillary pressure taking into account 1) the amount of interface (Gibbs-Duhem like equation) and 2) the area swept by the three-phase lines (Laplace like equation), as well as a dynamic capillary pressure related to fluid inertia. This is the first time that capillary pressure in porous media can be proved to be composed of three terms, each having an evident physical meaning. Under the assumptions of the present paper, the capillary pressure does not depend on macroscopic curvature, therefore. La modélisation des instabilités visqueuses en milieu poreux suppose généralement que la pression capillaire (différence de pression entre la phase mouillante et la phase non mouillante) dépend de la courbure du front biphasique. Or, cette dépendance n'est pas envisagée pour des déplacements stables, même quand les hétérogénéités du milieu poreux sont susceptibles d'introduire de grandes courbures des fronts biphasiques. Avant d'entreprendre l'étude des écoulements instables en milieu poreux, il a semblé nécessaire de rechercher les équations des écoulements biphasiques non miscibles en milieu poreux qui soient les plus précises et les plus complètes possible. Partant des équations microscopiques exactes au niveau du pore, des variables macroscopiques et les équations qui les relient sont déduites à l'échelle macroscopique par prise de moyenne spatiale. La thermodynamique des processus irréversibles est ensuite utilisée pour fermer le système d'équations. On montre ainsi que la loi de Darcy généralisée à deux phases modélise les écoulements non miscibles, à condition toutefois de l'enrichir d'un terme de couplage visqueux. La loi de pression capillaire apparaît être la somme de deux termes statiques et un dynamique. Les termes statiques prennent en compte la quantité d'aire interfaciale (loi de Gibbs-Duhem) ainsi que l'aire balayée par les lignes de contact triples (Loi de Laplace). Le terme dynamique prend en compte l'inertie des fluides. Cette décomposition de la pression capillaire en trois termes de sens physique évident est relativement originale. Ces travaux indiquent que la pression capillaire semble ne pas dépendre de la courbure macroscopique du front biphasique, même dans le cas d'instabilités visqueuses.