حل تحلیلی معادله انتقال آلودگی با ضرایب متغیر در رودخانه با استفاده از تبدیل لاپلاس

Abstract

رودخانه‌ها یکی از مهمترین منابع طبیعی آب در جهان به‌شمار می‌روند. مدل‌سازی انتقال آلودگی در رودخانه‌ها توسط معادله دیفرانسیل جزئی جابه‌جایی-پراکندگی-واکنش (‌ADRE) انجام می‌گیرد. در پژوهش حاضر، با استفاده از تبدیل لاپلاس که یک ابزار قدرتمند و مفید در حل معادلات دیفرانسیل می‌باشد، پاسخ تحلیلی معادله ADRE در دامنه محدود با ضرایب متغیر به‌ازای شرایط مرزی بالادست و پایین‌دست دیریکله در رودخانه به‌دست آمد. به‌منظور استفاده از حل تحلیلی موجود در این پژوهش، سه مثال ارائه گردید که در هرکدام رودخانه مد نظر، به ‌بازه‌های دو، چهار و هشت قسمتی تقسیم شده‌است، که ضمن متغیر بودن پارامترهای جریان، آلاینده و هندسه رودخانه در هر سه مثال، برای هر کدام از مثال‌ها، دقت حل تحلیلی موجود در زمانی‌که تقسیم‌بندی بازه‌ها بیشتر می‌شود در مقایسه با حل عددی بررسی شده است. با مشخص کردن ماتریس‌های سرعت، ضریب پراکندگی، سطح مقطع و ... به‌عنوان ورودی مسئله، ماتریس انتشار محاسبه و به تبع آن دستگاه معادلات پیچیده‌ای ایجاد می‌شود که پیچیدگی کار را دوچندان می‌کند. با حل دستگاه معادلات مذکور، مقدار غلظت آلاینده محاسبه می‌گردد. به‌منظور اعتبارسنجی حل تحلیلی موجود، از حل عددی استفاده می‌شود، نتایج نشان داد که هرچه تعداد تقسیم‌بندی‌های رودخانه بیشتر باشد، دقت حل بالاتر می‌رود و دو حل تحلیلی و عددی دارای انطباق خوبی با یکدیگر خواهند بود. باتوجه به توانایی و عملکرد حل تحلیلی موجود، می‌توان اذعان داشت که، حل تحلیلی موجود در این پژوهش می‌تواند به‌عنوان ابزاری جهت صحت‌سنجی و اعتبارسنجی حل‌های عددی و سایر حل‌های تحلیلی برای ضرایب متغیر معادله مورد استفاده قرار گیرد.

Keywords

• تابع توزیع غلظت
• دامنه محدود
• مدل‌سازی ریاضی
• معادله جابه‌جایی- پراکندگی- واکنش