Достаточные условия выпуклости и аффинности непрерывного отображения

Abstract

В статье устанавливается критерий выпуклости замкнутого множества в топологическом векторном пространстве: замкнутое множество в топологическом векторном пространстве выпукло тогда и только тогда, когда всякий отрезок с концами в этом множестве содержит хотя бы еще одну точку этого множества. Он обобщает аналогичный результат, установленный ранее для рефлексивных банаховых пространств. С его помощью доказывается достаточное условие планарности k-мерного многообразия в n-мерном аффинном пространстве An: если всякая хорда k-мерной поверхности, представляющей собой замкнутое множество, содержит еще какую-либо точку поверхности, отличную от своих концов, то поверхность является k-мерной плоскостью или ее выпуклым подмножеством с непустой внутренностью относительно этой плоскости. Вместе с теоремой о замкнутом графике эти 2 утверждения используются для установления достаточных условий выпуклости и аффинности непрерывной функции многих переменных, что позволяет решить функциональное уравнение Йенсена от функций многих переменных в классе непрерывных функций новым способом. Методы доказательства - топологические.

Keywords

• критерий выпуклости множества
• аффинная функция
• выпуклая функция
• функциональное уравнение йенсена