Застосування експоненціальних функцій в методі зважених нев’язок в структурній механіці на прикладі осесиметричної задачі оболонки під дією зосереджених сил

Abstract

Рішення для циліндричної оболонки під дією зосередженої сили є однією з основних проблем, яка дозволяє розглянути багато інших випадків навантаження та геометрії. Існуючі рішення базувались на спрощених припущеннях, і діапазони їх точності досі залишаються невідомими. Загальна ідея полягає в розкладі їх у ряди Фур'є за окружною координатою. Це зводить задачу до диференційного рівняння 8-го порядку відносно осьової координати. Проте знаходження відповідних 8 власних функцій та точне співвідношення 8 констант інтегрування з граничними умовами все ще перевищують можливості аналітичної обробки. У цій роботі ми застосовуємо затухаючі експоненційні функції у галер-кінській версії методу зважених нев’язок (МЗН) до вказаного вище рівняння 8-го порядку. Отже, ми будуємо набори базисних функцій, кожна з яких задовольняє граничним умовам, а також окружному і осьовому рівнянням рівноваги. Останні дають взаємозалежності між коефіцієнтами окружних та осьових переміщень з радіальними. Що стосується радіальної рівноваги, то вона задовольняється лише приблизно за рахунок мінімізації нев’язок. Подібним чином ми розробили методику застосування Нав'є-подібної версії МЗН. Результати та особливості застосування МЗН детально обговорюються для концентрованого навантаження виду cos2j, що методологічно є найскладнішим випадком, оскільки воно охоплює найбільшу відстань над циліндром. Рішення для нього чітко демонструє два типи поведінки - довгохвильову та короткохвильову, аналітична методика їх побудови була розроблена першим автором в іншій роботі, і тут успішно порівняна. Цей приклад демонструє відмінну точність двох напіваналітичних методів, Нав’є та МЗН. Було показано, що метод Нав'є, хоч і є простішим у реалізації, все ж вимагає набагато більше доданків (принаймні, на два порядки), ніж метод зважених нев’язок з використанням експоненційних функцій.

Keywords

• нескінченна циліндрична оболонка
• концентрована радіальна сила
• метод Галеркіна
• метод Нав'є
• точність
• кількість членів