JOIN GEOMETRIES : UN APPROCCIO SINTETICO ALLA CONVESSITA'

Abstract

Gli insiemi convessi hanno come noto un ruolo centrale nei problemi di ottimizzazione. Essi intervengono ad esempio come insiemi soluzione di un sistema di disequazioni lineari in n variabili reali. Le caratteristiche geometriche di tali insiemi interessano, in tali applicazioni. piu‘ che altro per le loro conseguenze algebriche: si pensi al ruolo che i vertici di un poliedro giocano nella ricerca del massnmo di un funzionale lineare. Anche per questo motivo l‘approccio classico allo studio degli insiemi convessi e' stato quello di far uso delle coordinate. immergendosi in R" . La natura geometrica di tali problemi consente, pero'. di darne delle dimostrazioni per via sintetica, anziche' analitica, cioe' senza far uso delle coordinate. Un modo molto generale per trattare la convessita' per via. sintetica. che permette anche di semplificare alcune dimostrazioni e per di piu' fornisce modelli anche fuori della geometria euclidea. e' quello introdotto da Prenowitz. consistente nella geometria dei Join Spaces. un join space e' un insieme munito di una iperstruttura. chiamata prodotto join, soddisfacente a opportuni assiomi suggeriti dall'operazione geometrica elementare consistente nell'assegnare ad ogni coppia di punti di uno spazio euclideo l'insieme dei punti del segmento che li congiunge. In questo modo, per un sottoinsieme di X l'essere convesso equivale all'essere stabile rispetto al prodotto join. I pochi assiomi stabiliti da Prenowitz permettono, come ora vedremo, di sviluppare una teoria della convessita‘ che fa ritrovare. senza far uso delle coordinate. i piu‘ importanti teoremi sugli insiemi convessi.