Revista Integración (Dec 2013)
Funciones inducidas conexas
Abstract
Se dice que una función f : X → Y definida entre espacios topológicos es conexa si la gráfica Γ(f) = {(x, f(x)) : x ∈ X} es conexa. Dado un continuo X, se consideran los hiperespacios: 2 X, la colección de todos los subconjuntos cerrados no vacíos de X; C(X), el conjunto de todos los subcontinuos de X; y Fn(X), los subconjuntos no vacíos de a lo más n puntos de X. Además, dada una función f : X → Y entre continuos, consideramos las funciones inducidas 2 f : 2X → 2 Y definidas por 2 f (A) = f(A) para cada A ∈ 2 X; Fn(f): Fn(X) → Fn(Y ), la función restricción Fn(f) = 2f |Fn(X) ; y si f es una función de Darboux débil, definimos C(f): C(X) → C(Y ) por C(f) = 2f |C(X) . En este artículo estudiamos las relaciones entre las siguientes cinco afirmaciones: 1) f es conexa; 2) C(f) es conexa; 3) Fn(f) es conexa, para algún n ≥ 2; 4) Fn(f) es conexa, para todo n ≥ 2; 5) 2 f es conexa. Abstract. A function between topological spaces f : X → Y is said to be connected provided that the graph Γ(f) = {(x, f(x)) : x ∈ X} is connected. Given a continuum X, some hyperspaces are considered: 2 X, the collection of all non-empty closed subsets of X; C(X), the set of all subcontinua of X, and Fn(X) the set of nonempty subsets of at most n points of X. Moreover, given f : X → Y a function between continua, consider the induced functions: 2 f : 2X → 2 Y , defined by 2 f (A) = f(A) for each A ∈ 2 X; Fn(f): Fn(X) → Fn(Y ), the restriction function Fn(f) = 2f |Fn(X) ; and, if f is a weak Darboux function, we define C(f): C(X) → C(Y ) by C(f) = 2f |C(X) . In this paper we study the relationships between the following five statements: 1) f is connected; 2) C(f) is connected; 3) Fn(f) is connected, for some n ≥ 2; 4) Fn(f) is connected, for all n ≥ 2; 5) 2 f is connected.
