KPI Science News (Dec 2019)

КРИВА СПУСКУ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ ЗА НАЙМЕНШИЙ ЧАС ПО ТРАНСЦЕНДЕНТНІЙ ПОВЕРХНІ В ОДНОРІДНОМУ ВЕРТИКАЛЬНОМУ ГРАВІТАЦІЙНОМУ ПОЛІ

  • Viktor P. Legeza,
  • Oleksiy V. Atamaniuk

DOI
https://doi.org/10.20535/kpi-sn.2019.5-6.188298
Journal volume & issue
no. 5-6

Abstract

Read online

Проблематика. В статті розглядається оригінальна варіаційна задача про брахістохронний рух матеріальної точки на циклоїдальній поверхні між двома заданими точками у вертикальному однорідному гравітаційному полі. Новизна і актуальність роботи пояснюються вибором трансцендентної поверхні, оскільки раніше рух матеріальної точки розглядався на алгебричних поверхнях другого порядку. Мета дослідження. Знайти криву на трансцендентній поверхні, рухаючись по якій від однієї заданої точки (точки старту) до іншої заданої точки (точки фінішу) по цій поверхні без тертя матеріальна точка здійснить такий перехід за мінімальний час. Трансцендентна поверхня має за напрямну криву циклоїду, що лежить в одній із координатних площин, а її твірні перпендикулярні цій площині. Методика реалізації. Для досягнення зазначеної мети в роботі використовувались класичні методи варіаційного числення (рівняння Ейлера–Лагранжа), а також класичний метод інтегрування звичайних диференціальних рівнянь (метод Бернуллі). Результати дослідження. Побудовано функціонал часу, з використанням якого аналітично виведено диференціальні рівняння просторової брахістохрони, що лежить на трансцендентній поверхні. Після інтегрування в замкненій формі отримано алгебричні рівняння просторової брахістохрони у параметричній формі. Результати дослідження проілюстровано графічно: наведено проекції траєкторії брахістохрони на координатні площини OXY і OXZ. Визначено кути нахилу оптимальної траєкторії у точці старту. Наведено порівняльний аналіз часу швидкодії в процесі руху матеріальної точки вздовж двох траєкторій: вздовж брахістохрони та вздовж альтернативної траєкторії. Висновки. Запропонований підхід дає змогу наперед прокласти такий логістичний маршрут матеріальної точки на заданій трансцендентній поверхні між двома фіксованими точками, який забезпечить мінімальний час переміщення між ними в однорідному вертикальному полі тяжіння. В цьому разі екстремальною траєкторією не обов’язково буде найкоротша лінія, яка лежить на поверхні і з’єднує дві задані точки (старту і фінішу).

Keywords