Weak convergence under nonlinearities

Abstract

In this paper, we prove that if a Nemytskii operator maps Lp(omega, E) into Lq(omega, F), for p, q greater than 1, E, F separable Banach spaces and F reflexive, then a sequence that converge weakly and a.e. is sent to a weakly convergent sequence. We give a counterexample proving that if q = 1 and p is greater than 1 we may not have weak sequential continuity of such operator. However, we prove that if p = q = 1, then a weakly convergent sequence that converges a.e. is mapped into a weakly convergent sequence by a Nemytskii operator. We show an application of the weak continuity of the Nemytskii operators by solving a nonlinear functional equation on W1,p(omega), providing the weak continuity of some kind of resolvent operator associated to it and getting a regularity result for such solution.Neste artigo, provamos que se um operador de Nemytskii aplica Lp(ômega, E) no Lq(ômega , F), para p, q maiores do que 1, E, F espaços de Banach separáveis e F reflexivo, então uma seqüência que converge fracamente e q.t.p. é transformada em uma seqüência fracamente convergente. Fornecemos um contra-exemplo mostrando que se q = 1 e p é maior do que 1, podemos não ter continuidade seqüêncial de tal operador. Contudo provamos que se p = q = 1, então seqüências fracamente convergentes que convergem q.t.p. são aplicadas em seqüências fracamente convergentes por um operador de Nemytskii. Mostramos uma aplicação da continuidade fraca dos operadores de Nemytskii resolvendo uma equação funcional não linear no W1,p(ômega), provando a continuidade fraca de um tipo de operador resolvente associado ao operador de Nemytskii e obtendo um resultado de regularidade de tal solução.

Keywords

• continuidade fraca
• não linearidades
• operador de Nemytskii
• weak continuity
• nonlinearities
• Nemytskii operator