ПРО ОДИН КЛАС НЕСТАЦІОНАРНИХ КРИВИХ В ГІЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРІ
Abstract
Стаціонарні випадкові процеси достатньо добре вивчалися протягом останніх років, починаючи з робіт А. Н. Колмогорова. Можливість побудування кореляційної теорії нестаціонарних випадкових процесів розглядалася в монографіях М. С. Ліфшіца, А. А. Янцевича, В. А. Золотарьова. Деякі класи нестаціонарних кривих досліджувалися В. Е. Кацнельсоном та ін. В даній роботі розглядалися нестаціонарні випадкові процеси як криві, які «слабо відхиляються» від випадкових процесів з кореляційною функцією спеціального вигляду. Вводиться інфінітезимальна кореляційна функція, яка за змістом є відхилення від випадкового процесу з даною кореляційною функцією. В роботі розглядаються нестаціонарні випадкові процеси у випадку, коли оператор процесу має одновимірну уявну компоненту, і коли оператор є дисипативним з дискретним спектром. Показано, що нестаціонарність випадкового процесу тісно пов’язана з відхиленням оператора від свого спряженого. Використовуючи трикутну і універсальну моделі несамоспряжених операторів, можна отримати представлення для кореляційної функції у випадку нестаціонарного випадкового процесу, яке заміняє представлення Бохнера – Хінчина у випадку стаціонарних випадкових процесів. Отримано вираз для інфінітезимальної функції для різних випадків спектра (дискретний спектр, розташований в верхній напівплощині, і безконтрастний спектр в нулі). Для випадку оператора з дискретним спектром інфінітезимальна функція може бути знайдена через спеціальну лямбда‑функцію. Для лебегового простору комплекснозначних інтегровних з квадратом функцій отримано вираз для інфінітезимальної функції через спеціальну модіфіковану функцію Бесселя нульового порядку. Показано, що аналогічний підхід можна використовувати для еволюційно представимих послідовностей в гільбертовому просторі.
Keywords
