Constant mean curvature one surfaces in hyperbolic 3-space using the Bianchi-Calò method

Abstract

In this note we present a method for constructing constant mean curvature on surfaces in hyperbolic 3-space in terms of holomorphic data first introduced in Bianchi's Lezioni di Geometria Differenziale of 1927, therefore predating by many years the modern approaches due to Bryant, Small and others. Besides its obvious historical interest, this note aims to complement Bianchi's analysis by deriving explicit formulae for CMC-1 surfaces and comparing the various approaches encountered in the literature.Nesta nota apresentaremos um método para construir superfícies de curvatura média constante um no 3-espaço hiperbólico, a partir de funções holomorfas. Tal método foi introduzido nas Lezioni di Geometria Differenziale de Bianchi em 1927, antecedendo, portanto, em muitos anos, os pontos de vista mais modernos de Bryant, Small e outros. Além do seu óbvio interesse histórico, o objetivo da nota é complementar a análise de Bianchi, obtendo fórmulas explícitas para as superfícies de curvatura média constante um, e comparar os vários pontos de vista encontrados na literatura.

Keywords

• Superfícies de curvatura média constante um
• congruência de esferas
• rolamento de superfícies
• representação de Weierstrass
• Constant mean curvature one surfaces
• congruence of spheres
• rolling of surfaces
• Weierstrass representation